RICERCA DI TERMODINAMICA

MOTO PERPETUO di SECONDA SPECIE

Nuovo Concetto di Entropia, Richiesta di Parere, Turbo-Pompa ad Ingranaggi Ellittici,
Ciclo Rankine-Hirn, Cicli Entalpici e Cicli Entropici, Motori e Distillatori, Rendimento Unitario,
Ottimazione del Rendimento, Cicloide Ellittica, Nuovo Integrale Indefinito, una Legge Assoluta.

 
 



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SINTESI E COMPLEMENTI
Integrale Indefinito e Legge Assoluta
di una Ricerca di Termodinamica avente per TITOLO:
CRITERI di OTTIMAZIONE del RENDIMENTO 
di un MOTORE PRIMO TERMICO

 
 

 
 
 
MOTORI TERMICI E RENDIMENTI
 
Inizialmente lo scopo era quello di analizzare le cause per cui i MOTORI TERMICI ALTERNATIVI (scoppio, diesel) non sono più economici delle TURBINE a GAS di uguale POTENZA, malgrado abbiano RENDIMENTI IDEALI (η più grandi mentre gli ATTRITI (λ) sono quasi identici, quelli MECCANICI λA che disperdono LAVORO (1-λA)=LR/L e quelli TERMICI λC che disperdono CALORE (1-λC)=Q/QR.

Essi formano il RENDIMENTO INTERNO η0=(1-λA)(1-λC)≅0,85, che riduce del 15% il RENDIMENTO η=L/Q dei CICLI IDEALI (Otto, Diesel, Joule, Carnot, ecc.) come confermano i CICLI INDICATI, dove gli Scambi Energetici di LAVORO LR e CALORE QR determinano il Valore Sperimentale del RENDIMENTO REALE ηR=LR/QR
Questo valore approssimato di ηR≈0,85η può ritenersi accettabile nelle MACCHINE ROTATIVE, in particolare nelle TURBINE a GAS, ma non nelle MACCHINE ALTERNATIVE dove si ottiene un valore di ηR=LR/QR inferiore, come risulta misurando direttamente il LAVORO (LR)  intorno all’ALBERO e il CALORE QR speso nella CAMERA di COMBUSTIONE.

Peraltro tutti i CICLI (Otto, Diesel, Joule, Carnot, ecc.) si svolgono a TEMPERATURE ELEVATE (T>Tc) e quindi (in prima approssimazione) seguono la TEORIA dei GAS PERFETTI, ignorando la COMBUSTIONE e il relativo RENDIMENTO ORGANICO.

In assenza di alternative, la DISCORDANZA dipende necessariamente dalla DIVERSITA' delle due MACCHINE, cioè dalla CATENA CINEMATICA che collega la CAMERA di Combustione all’ALBERO, inesistente nelle TURBINE ma determinante nei MOTORI ALTERNATIVI, azionati dal MECCANISMO BIELLA MANOVELLA.

Perciò, nelle normali CONDIZIONI di REGIME (dopo la messa in moto), qualsiasi MACCHINA TERMICA a COMBUSTIONE INTERNA (alternativa, rotativa) AUTOGESTISCE in TEMPI REALI (istante per istante) il suo BILANCIO ENERGETICO, cioè lo SCAMBIO TERMICO (δQ
0) e MECCANICO (δL0) con l’ESTERNO. Insomma, la MACCHINA TERMICA funziona da SOLA, in modo AUTONOMO, INDIPENDENTE, a “SCATOLA CHIUSA”

Dunque è certamente il MECCANISMO che determina le CAUSE TERMODINAMICHE del MOTO, cioè gli SCAMBI ENERGETICI (δQ,δL) e il RENDIMENTO (η), a parte gli ATTRITI (λAC) di cui la (1) tiene conto nel Piano O(F,s). Questo significa che la TERMODINAMICA crea il CICLO IDEALE () nella CAMERA di COMBUSTIONE e poi la CATENA CINEMATICA lo trasmette all’ALBERO trasformandolo in un CICLO INDOTTO (*), aventi la STESSA AREA ma DIFFERENTI Forme Geometriche. Questi due CICLI Corrispondenti  (ℑ⇔ℑ*), situati agli ESTREMI P,P* del MECCANISMO, compiono dunque lo stesso LAVORO L=L*, con differenti RENDIMENTI η≠η*.

Ma il MOTORE è azionato soltanto dal CICLO INDOTTO (*), che potrebbe COLLOCARSI in un ipotetico CILINDRO TOROIDALE intorno all’ALBERO, come nelle TURBINE, ignorando il resto della MACCHINA.Comunque, sostituendo η→η*
nella (1), si ottiene il seguente valore approssimato del RENDIMENTO REALE EFFETTIVO ηE valido per ogni MACCHINA TERMICA a COMBUSTIONE INTERNA.
Peraltro, lo STATO FISICO di una data MASSA M(kg) di GAS (Ideale, Reale) risulta definito (Gibbs) da qualsiasi COPPIA di VARIABILI Indipendenti, fra cui conviene scegliere p=F/A(Pa),V=As(m3) oppure F=Ap(N),s=V/A(m), legate dalla COSTANTE AREALE A(m2). Con queste scelte tutte le FUNZIONI di STATO si esprimono (in Termini Finiti) con Equazioni del tipo Y=f(p,V)=g(F,s), nei Piani Meccanci O(p,V),O(F,s), fra le quali la TEMPERATURA-FISICA RT(J), l’ENTROPIA-FISICA ΔS/R(ad) e l’ENERGIA INTERNA ΔU(J), con le seguenti EQUAZIONI che dipendono dalla Costante Entropica k=cp/cv ma non da R(J/K):
Ritornamdo all’Ipotesi di OTTIMIZZARE i MOTORI TERMICI, si tratta di MODIFICARE opportunamente le rispettive CATENE CINEMATICHE, cioèi MECCANISMI che collegano la CAMERA di COMBUSTIONE all’ALBERO, allo scopo di migliorare il RENDIMENTO INDOTTO  (η*∈*)  che figura nell’Equazione (2), applicando le FUNZIONI di STATO (3) assieme ad altre Equazioni dello stesso tipo, che per brevità omettiamo.

In tal modo l’OTTIMAZIONE del BILANCIO ENERGETICO (δQ,δL) diventa soltanto QUANTITATIVA, con MODESTI risultati nelle TURBINE, dove le (1),(2) sono poco differenti (η≈η*), ma risultano NOTEVOLI nei MOTORI ALTERNATIVI, azionati dal MECCANISMO BIELLA MANOVELLA, dove i RENDIMENTI INDOTTI η* possono CRESCERE oltre il 30%, a volte superando quelli dei CICLI IDEALI svolti nei RISPETTIVI CILINDRI.

C’è da aggiungere le VARIANTI del CICLO RANKINE negli attuali IMPIANTI TERMICI a VAPORE, dove la CONDENSAZIONE può essere ARRESTATA quando si vuole sulla Iso-Termo-Barica (dT=0),(dp=0),(orizzontale) del VAPORE SATURO, formando un nuovo PUNTO INIZIALE (O) dove, conformemente alla Funzione di Stato φ(p,T,xO)=0, avviene l'INCREMENTO ISO-TERMICO di PRESSIONE (dT=0),(Δp>0), seguito dall’INCREMENTO ISO-BARICO di TEMPERATURA (ΔT>0),(dp=0) sulla ISO-TITOLO (dx=0) passante per (O).

Questo accade anche nel CICLO RANKINE-HIRN, dove il PRIMO LATO non si trova (come si crede) nella ZONA LIQUIDA ma sulla prima curva ISO-TITOLO del VAPORE SATURO, dalle cui VARIANTI derivano i CICLIi ENTALPICI e i CICLI ENTROPICI, descritti in altre pagine del SITO.

 
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Qui finisce la TESI sul RENDIMENTO, ma poi senza volerlo la stessa RICERCA ha sconfinato nei settori più alti della FISICA TEORICA riguardanti i PRINCIPI DELLA TERMADINAMICA, generalmente ritenuti assolutamente validi (certi, intoccabili) pur essendo di natura prettamente sperimentale, mentre invece molti Studiosi nutrono cauti dubbi di affidabilità, specialmente sul SECONDO, sperando di ottenere conferme o smentite anche per via matematica, malgrado alcune applicazioni in apparenza(?) positive.

Si suppone infatti che l’ENTROPIA ottenuta dai Teoremi di CARNOT-CLAUSIUS rappresenti l’OMONIMO POSTULATO, cioè il SECONDO PRINCIPIO. In effetti costituisce un insolito DIFFERENZIALE dS=δQ/T legato (dal fattore integrante 1/T) al generico SCAMBIO TERMICO δQ≠0, che può diventare UN DIFFERENZIALE dQ=TdS definito (dS=δQ/T)⇔(δQ=TdS) dalla stessa ENTROPIA dS=δQ/T, come risulta dalle Equazioni (3). Perciò l’ENTROPIA non può rappresentare l’UNICA Espressione del SECONDO PRINCIPIO, la certezza MATEMATICA della su ESISTENZA.


 
 
 
1)   FORME INFINITESIME LINEARI e DIFFERENZIALI
 
Per chiarire i suddetti sconfinamenti, cominciamo col ricordare che poche GRANDEZZE FISICHE Z si conoscono in termini finiti, come le (3). Generalmente si esprimono in termini infinitesimi mediante FORME DIFFERENZIALI LINEARI del tipo dZ=X1dx1+X2dx2+...+Xndxn, che nel caso di 2 variabili indipendenti (x,y) assumono la seguente espressione, dove i coefficienti X(x,y),Y(x,y) vengono definiti (per via sperimentale) in un CAMPO CONNESSO  C⊆ℜ2, ∀(x,y)∈C:
 
Per conoscere (in termini finiti) alcuni valori della FUNZIONE INCOGNITA Z(x,y), occorre INTEGRARE dZ(x,y) lungo una determinata CURVA  γ∈C di Equazioni x=s(t),y=y(t), dal Punto Iniziale t0∈γ al generico Punto Finale t∈γ, assegnando X(x,y),Y(x,y), la Linea di Integrazione  γ∈C fra i i due Estremi (t0,t)∈γ:
 
INFINITESIMI del tipo (4) sono gli SCAMBI TERMICI δQ0 e MECCANICI δL0, che in TEMPI REALI (istante per istante) definiscono i BILANCI ENERGETICI delle MACCHINE TERMICHE durante il moto.  Peraltro, se entrambi i Coefficienti X(x,y),Y(x,y) si assegnano in un CAMPO SEMPLICEMENTE CONNESSO (CSC), E⊆ℜ2 allora può accadere che ∀(x,y)∈E l’INFINITESIMO dZ(x.y) diventi un DIFFERENZIALE dZ(x,y), di cui (in linea di principio) deve ESISTERE almeno una PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y), REALE o COMPLESSA, che lo soddisfa:
In assenza di alternative, anche il DIFFERENZIALE (6) si risolve con INTEGRALI CURVILINEI del tipo (5), CALCOLATI per TENTATIVI e VERIFICHE di DERIVAZIONE, suppunendo(?) che la PRIMITIVA Z(x,y)  ESISTA, dipenda dai PUNTI ESTREMI (t0,t)∈E0 ma NON dalla LINEA  (γ∈E) che li congiunge.

In effetti, affinchè la PRIMITIVA Z(x,y)∈C2(E) esista ∀(x,y)∈E, è necessario che quei Coefficienti X(x,y)∈C1(E),Y(x,y)∈C1(E) soddisfino all’EQUAZIONE di SCHWARZ
∂X/∂y=∂Y/∂x, chiamata anche CONDIZIONE di INTEGRABILITA' o di CHIUSURA, che determina l’espressione λ(x,y) della DERIVATA seconda mista ∂2Z/∂x∂y=λ(x,y)∈C0(E) definita dal sistema DIFFERENZIALE del secondo ordine alle DERIVATE PARZIALI:
 
 
Viceversa, partendo da una FUNZIONE INTEGRANDA arbitraria λ(x,y)∈C0(E) possiamo calcolare i COEFFICIENTI (8) X*(x,y),Y*(x,y) di un nuovo DIFFERENZIALE (8)1 dove compaiono 2 FUNZIONI ARBITRARIE  V(x),W(y) MONOVARIABILI, che supponiamo CONTINUE (x,y)∈E, eventualmente COSTANTI o NULLE
 
Il seguente INTEGRALE DOPPIO dell’EQUAZIONE ∂2Z/∂x∂y=λ(x,y) rappresenta la più generale SOLUZIONE Z*(x,y)∈C2(E) del DIFFERENZIALE (6), che modifica notevolmente il CONCETTO di PRIMITIVA:
 


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2) ALCUNE RIFLESSIONI
 
Complessivamente, facendo riferimento ai GAS IDEALI e senza escludere possibili ERRORI, abbiamo ottenuto risultati alquanto insoliti e interessanti. Perciò, prima di proseguire, anticipiamo 3 brevi RIFLESSIONI A) B) C) riguardanti:
 
A) Il CONCETTO di LIMITE rappresenta l’ALGORITMO fondamentale di tutta l’ANALISI MATEMATICA, un preciso CALCOLO sistematico che trova la più naturale applicazione nella DEFINIZIONE di DERIVATA. Tuttavia esso ignora l’OPERAZIONE INVERSA di INTEGRALE, stranamente RISOLVIBILE soltanto per TENTATIVI e VERIFICHE di DERIVAZIONE, tramite INTEGRALI CURVILINEI del tipo (5).
Peraltro, basta assegnare la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)
∈C0(E0) nel SISTEMA (7) per ottenere i COEFFICIENTI (8) X*(x,y),Y*(x,y) del generico DIFFERENZIALE dZ*(x,y), che si risolve con l’INTEGRALE DOPPIO (9), dove le 2 FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y) MODIFICANO la PRIMITIVA Z*(x,y).
Inoltre lo stesso INTEGRALE (9) diventa MONOVARIABILE lungo una qualsiasi LINEA
γE02 di EQUAZIONE y=y(x)C0(E0), ottenendo (in alternativa) una estesa CLASSE di PRIMITIVE ANOMALE Z(x), REALI e/o COMPLESSE, tutte con DERIVATE REALI, generalmente INCOMPATIBILI col TEOREMA di TORRICELLI.
 
B) Il SECONDO PRINCIPIO dovrebbe(?) assumere FORMA MATEMATICA con i Teoremi di CARNOT e CLAUSIUS, che partendo dal RENDIMENTO η=L/Q definiscono il DIFFERENZIALE della ENTROPIA dS=δQ/T, col seguente risultato: Il RENDIMENTO η=L/Q delle MACCHINE PERFETTE, funzionanti secondo il CICLO di CARNOT INVERTIBILE, dipende UNICAMENTE dalle TEMPERATURE ESTREME T1,T2:
Facendo riferimento alle (1),(2), nelle MACCHINE TERMICHE è ipotizzabile MINIMIZZARE tutti gli ATTRITI (Termici λC e Meccanici λA) fino a TRSCURARLI, affinchè il RENDIMENTO INTERNO η0=(1-λA)(1-λC) diventi QUASI UNITARIO (η0=1). In questi casi il RENDIMENTO EFFETTIVO ηE0η* (2) assume all’incirca lo stesso valore del RENDIMENTO INDOTTTO η*∈ℑ*, con ηE=η*. Come pure per la MACCHINA PERFETTA di CARNOT, dove (10) il RENDIMENTO EFFETTIVO ηE=η dipende da (T1,T2) ma anche dal MECCANISMO (m) e quindi risulta:
Di questi 2 PARAMETRI (m,η*) occorre tener conto nella definizione (10) di ENTROPIA, che invece li IGNORA e quindi NON può rappresentare l’UNICA ESPRESSIONE MATEMATICA del SECONDO PRINCIPIO, cioè lo STRUMENTO di MISURA. Al più potrebbe costituire CONDIZIONE NECESSARIA (non Sufficiente) per la sua VALIDITA', ancora da DIMOSTRARE.

Questo significa che l’ESPRESSIONE (11) del RENDIMENTO ηE toglie al SECONDO PRINCIPIO il concetto di ENTROPIA e la possibilità di essere TRADOTTO in TERMINI MATEMATICI, senza escludere il POSTULATO di CLAUSIUS: il CALORE non passa spontaneamente da CORPI FREDDI a CORPI CALDI.
 
C) La REGOLA delle FASI (diGibbs) assicura che lo STATO FISICO dei FLUIDI risulta definito da 2 VARIABILI INDIPENDENTI (x,y)∈E0, le quali, viceversa, determinano le sue FUNZIONI di STATO Zj∈∇ con EQUAZIONI del tipo Zj=fj(x,y) come nei precedenti esempi (3), dove l’ENERGIA INTERNA ΔU risulta compatibile col PRIMO PRINCIPIO, mentre l’ENTROPIA ΔS nega decisamente la VALIDITA' MATEMATICA del SECONDO.

A QUESTI risultati conducono i nuovi COEFFICIENTI X*(x,y),Y*(x,y) del DIFFERENZIALE (8)1, che formano la più generale ESPRESSIONE (8) del SISTEMA di STATO dei FLUIDI, comprendente 2 EQUAZIONI fra le 4 VARIABILI (x,y,X,Y), dove basta assegnare la FUNZIONE INTEGRANDA λ(x,y) affinchè nella PRIMITIVA Z*(x,y), espressa dall’INTEGRALE (9), compaiano due FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y), di NOTEVOLE importanza nelle APPLICAZIONI.
 
In particolare consentono di SEPARARE gli STATI FISICI dei singoli FLUIDI (H2O, CO2, ecc.), ma soprattutto (come vedremo) trasformano il SISTEMA DIFFERENZIALE (7) in una autentica “LEGGE ASSOLUTA della NATURA”, un metodo sperimentale PERSONALIZZATO che in TEMPI REALI (istante per istante) percepisce tutte le ATTIVITA' SENSORIALI dei CORPI intorno a NOI, una VERITA' MATEMATICA agente “nell’ATTIMO FUGGENTE” del MONDO in cui VIVIAMO.
 
Concludendo, non è per CASO che lo STUDIO di una estesa CLASSE di CORPI e FENOMENI si fonda sulla conoscenza di quattro GRANDEZZE FISICHE (x,y,X,Y)∈E0⊆ℜ2, 2 delle quali risultano INDIPENDENTI e che la STESSA REGOLA vale anche nei FENOMENI BIOLOGICI della VITA CELLULARE, dove il CODICE GENETICO del "DNA" produce le TRASFORMAZIONI permutando 2 a 2 le 4 MOLECOLE di BASE (A,G,C,T) che INCOLLANO i PIOLI TRASVERSALI della sua STRUTTURA ELICOIDALE. Forse la CONOSCENZA è prossima alla PLATONICA “TEORIA del TUTTO” (?).


 
 
 3) PRIMITIVE ANOMALE
 
Le due FUNZIONI X(x)∈C1(A),Y(y)∈C1(B), definite ∀(x,y)∈(A,B)⊆ℜ, formano i COEFFICIENTI dell'INFINITESIMO dZ(x,y), che determina una particolare CLASSE di PRIMITIVE Z(x,y)∈C2(A,B):
 
A differenza dell'INFINITESIMO (4), che rappresenta le TRASFORMAZIONI degli INTEGRALI curvilinei (5), l’EQUAZIONE (12) costituisce un DIFFERENZIALE del tipo (6), definito ∀(x,y)∈(A,B)∈(E), il quale, secondo il Teorema di TORRICELLI- BARROW, dovrebbe ammettere soltanto l’UNICA PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)∈C1(E) espressa dal seguente Integrale Indefinito:

Tuttavia lo stesso DIFFERENZIALE (12) soddisfa alle CONDIZIONI (7) di INTEGRABILITA' (o di Chiusura, o di Schwarz) dove però risulta λ(x,y)=0, le quali dimostrano l’effettiva ESISTENZA della SOLUZIONE Z(x,y)∈C1(E) e di altre PRIMITIVE Z*(x,y)∈C2(E) ottenute con l’INTEGRALE DOPPIO (9), definite ∀(x,y)∈(E):

Infatti l'INTEGRAZIONE dell’EQUAZIONE ∂2Z/∂x∂y=0 conduce alla seguente PRIMITIVA INCOGNITA Z*(x,y)∈C2(E), dove le due FUNZIONI INTEGRANTI sono ARBITRARIE, V(x)∈C1(A),W(y)∈C1(B) e includono la PRIMITIVA (12) Z(x,y)∈C1(A,B) ponendo X(x)=V(x) e Y(y)=W(y):
 

Il Sistema DIFFERENZIALE (14) ammette dunque la SOLUZIONE di TORRICELLI (13) ma anche la PRIMITIVA ARBITRARIA (15), entrambe soddisfacenti alla CONDIZIONE di SCHWARZ ∂2Z/∂x∂y=λ(x,y)=0. In particolare, se una delle due VARIABILI (x,y)∈(E) si suppone COSTANTE (k), ponendo ad esempio (y=k),(dy=0), allora entrambe le PRIMITIVE (13),(15) diventano monovariabili, ottenendo 2 SOLUZIONI del Tipo:
Le DUE SOLUZIONI (16) dello stesso DIFFERENZIALE (12), soltanto in apparenza sembrano INCOMPATIBILI, essendo alquanto DIFFICILE accettare questi RISULTATI ottenuti dal SISTEMA DIFFERENZIALE (7), dove l’INTEGRALE DOPPIO (8) della DERIVATA SECONDA MISTA ∂2Z*/∂x∂y=λ(x,y)¹0 colloca le due FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y) all’origine di questi DUBBI.
 
Un’altra CONFERMA si ottiene dall’Integrale (15), supponendo di CONOSCERE ∀(x,y)∈(E) i 2 COEFFICIENTI V(x)=f(x),W(y)=g(y) e le loro SOLUZIONI: ∫f(x)dx=F(x), ∫g(y)dy=G(y), affinché almeno la PRIMITIVA Z(x,y)∈C1(A,B) diventi compatibile col TEOREMA di TORRICELLI:
Anche in questi casi restano VALIDE le seguenti PRIMITIVE, che sono DIFFERENTI a causa delle 2 VARIABILI (x,y), ciascuna delle quali può diventare FUNZIONE ARBITRARIA dell’altra, sostituendo x=ψ(y) all’estremo superiore del PRIMO INTEGRALE ∫f(x)dx e y=φ(x) all’estremo superiore del SECONDO ∫g(y)dy:
In sostanza si tratta di PRIMITIVE ANOMALE incompatibili col TEOREMA di TORRICELLI, che risulta POCO AFFIDABILE in quanto RISOLVE soltanto i DUE DIFFERENZIALI f(x)dx,g(y)dy con ipotetiche PRIMITIVE ∫f(x)dx=F(x), ∫g(y)dy=C(y), ritenute ESISTENTI e UNIVOCHE ∀(x,y)∈(A,B), mentre INVECE risultano INCOGNITE IN LINEA DI PRINCIPIO, essendo calcolabili per TENTATIVI e ripetute VERIFICHE di DERIVAZIONE, con RISULTATI INCERTI.

I precedenti confronti e quelli che seguiranno dimostrano che ogni FUNZIONE INTEGRANDA f(x)∈C0(A) PUO' aMMETTERE (non necessariamente) INFINITE PRIMITIVE INCOGNITE ΔFh(x)∈C1(A), REALI, COMPLESSE, addirittura ARBITRARIE, fra cui abbiamo scelto le più semplici, includendo alcuni INTEGRALI di RIEMANN impiegati essenzialmente per il calcolo delle AREE e dei VOLUMI.

I seguenti ESEMPI sono utili per VERIFICARE le (18) ma non NECESSARI per la RICERCA, perciò possono IGNORARSI.
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4)  ESEMPI DI PRIMITIVE ANOMALE (UTILI ma non NECESSARI per la RICERCA)
 
Nei prossimi ESEMPI applicheremo il primo INTEGRALE (18), dove ∀(x,y)∈(E) le 2 PRIMITIVE Z(x,y)/x=F(x)/x=f(x) ammettono la stessa FUNZIONE INTEGRANDA f(x)∈C0(A):

 
 ESEMPI - 1)
La seguente FUNZIONE Z(x,y)∈C1(E), definita ∀(xy)≠1, dipende da due VARIABILI (x,y)∈(E)⊆ℜ, di cui calcoliamo le DERIVATE PARZIALI ∂Z/∂x,∂Z/∂y escludendo i PUNTI SINGOLARI xy=1 dove Z(x,y) subisce una DISCONTINUITA' di PRIMA SPECIE con SALTO ΔZ(x,y)=±π:
 
Le 2 VARIABILI (x,y)∈(E) definiscono ∀xy≠1 la PRIMITIVA (20), quindi possiamo applicare una di queste FUNZIONI INTEGRANDE, ad esempio f(x)=1/(1+x2), per esprimere le PRIMITIVE (19):
Ma la stessa FUNZIONE (20) può assumere anche i seguenti VALORI, ∀(1-xy)>0 cioè ∀(xy<1):
Essa semplifica le (21), ad esempio col seguente INTEGRALE DEFINITO dove le due PRIMITIVE (J’,J”) risultano IDENTICHE (J’=J”), ∀xy<1 o DIFFERENTI (J’≠J”),∀xy>1:

Una facile CONFERMA si ottiene ASSEGNANDO all’altra variabile il VALORE COSTANTE y=k≠0:
Un’altra VERIFICA si ottiene SOSTITUENDO all’estremo superiore la FUNZIONE ESPONENZIALE x=(ey)/Y, ricordando (come abbiamo detto) che in ogni caso quella VARIABILE (x≠0) può diventare una FUNZIONE ARBITRARIA (Reale o Complessa) del tipo: x=ψ(y), ∀y∈A:
Fra gli altri ESEMPI dello stesso tipo (non riportati) è interessante il seguente CONFRONTO fra due PRIMITIVE differenti (J’¹J”), una REALE, atgx , e l’altra COMPLESSA, atg(a+jb), ottenute dall’INTEGRALE (21) con la SOSTITUZIONE y=j/k, G(y)=0, definite  ∀(k,x)≠0, facilmente VERIFICABILI per DERIVAZIONE:
 
 
 
ESEMPI - 2).
Una VARIANTE della (20) è la seguente FUNZIONE TRIGONOMETRICA (25) Z(x,y)∈C1(E), definita ∀(x≠y), che consente di RIPETERE (quasi esattamente) gli ESEMPI 1), OTTENENDO altre PRIMITIVE (J',J'') della stessa FUNZIONE INTEGRANDA f(x)=1/(1+x2), che ∀(x=y) anche in questo caso RISULTA ΔZ(x,y)=±π:
 
Applicando il procedimento (21) e partendo dalla FUNZIONE INTEGRANDA f(x)=1/(1+x2) otteniamo le 2 Primitive (19), anch’esse definite ∀(x≠y):
Peraltro l’EQUAZIONE (25) può assumere anche i seguenti VALORI, definiti ∀(y-x)>0 cioè ∀(x≠0):
 

 
Quanto prima la (27) CONDIZIONA tutte le APPLICAZIONI delle (26), in particolare il seguente INTEGRALE DEFINITO ∀(x¹0), dove le 2 PRIMITIVE (J’,J”) risultano IDENTICHE (J’=J”) ∀xy<1 oppure DIFFERENTI (J’≠J”) ∀xy>1:
 
Un facile ESEMPIO come le (21)1 si ottiene assegnando il VALORE COSTANTE y=k≠0:
In questo caso una efficace VERIFICA si ottiene con la SOSTITUZIONE x=ey/y, dove l’ESTREMO SUPERIORE (x) può diventare una FFUNZIONE ARBITRARIA (Reale o Complessa) del tipo x=y(y):
 
Infine RIPORTIAMO la seguente VERSIONE COMPLESSA dell’INTEGRALE (26) ponendo y=jk, ∀(k,x)≠0:

 
 
ESEMPI - 3)
La seguente FUNZIONE TRIGONOMETRICA Z(x,y)∈C0(ℜ), definita ∀(x,y)∈ℜ, è dotata di CUSPIDI nei PUNTI SINGOLARI (x=y), come dimostrano le DERIVATE ∂Z/∂x, ∂Z/∂y definite ∀(x≠y), di cui OMETTIAMO i CALCOLI, alle quali il FATTORE UNITARIO λ=(y-x)/|y-x|=±1 assegna il DOPPIO SEGNO ALGEBRICO (±):
 
Anche il DIFFERENZIALE dZ(x,y) della FUNZIONE (30) viene CONDIZIONATO dal FATTORE λ=(y-x)/|y-x|=±1, spostando il DOPPIO SEGNO algebrico (±) nelle sue DERIVATE ∂Z/∂x, ∂Z/∂y, anch’esse DEFINITE ∀(x≠y):
Come nei precedenti ESEMPI, possiamo scegliere la prima FUNZIONE INTEGRANDA f(x)=1/(1+x2) per ottenere le due PRIMITIVE (J',J'') dell SISTEMA (19), le quali risultano IDENTICHE (J’=J”) ∀(x≠J”) ∀(x>y), condizionate dal FATTORE UNITARIO λ=(y-x)/|y-x|=±1 e definite ∀(x≠y):
 
 
Assegnando alla VARIABILE y∈ℜ il valore COSTANTE y=k∈ℜ, (dy=0), come nelle (28)1 si OTTIENE:
 
 
Infine (per brevità) ci limitiamo a SOSTITUIRE nella (32) il NUMERO IMMAGINARIO (y=jk),(k∈ℜ), ottenendo le seguenti PRIMITIVE, una COMPLESSA ∀(x,k∈ℜ) e l’altra REALE ∀(x∈ℜ), certamente DIFFERENTI ∀(x,k∈ℜ):

 
 
ESEMPI4)
La seguente FUNZIONE f(x)∈C0(ℜ) è CONTINUA ∀x∈ℜ, come DIMOSTRANO i suoi LIMITI per x→(0,±∞):
 
 
 
Secondo il TEOREMA di TORRICELLI la Funzione INTEGRANDA (35) dovrebbe ammettere un’UNICA PRIMITIVA F(x)∈C1(ℜ),∀x∈ℜ.
Ma il suo CALCOLO (per tentativi) conduce  al seguente INTEGRALE F(x) dove RISULTA F(±∞)=1/2 mentre nell’ORIGINE (x=0) presenta una DISCONTINUITA' di PRIMA SPECIE con SALTO ΔF(0)=-1. Peraltro non esistono altre Primitive F(x)∈C1(ℜ), Contnue x∈ℜ:

 
 
 
SCONVOLGENTE CONCLUSIONE.
I precedenti ESEMPI, e tanti altri non riportati, dimostrano che ogni FUNZIONE f(x)C0(A) può ammettere infinite PRIMITIVE INCOGNITE F(x)C(A), REALI e/o COMPLESSE e/o ARBITRARIE, non tutte CONTINUE, calcolabili per TENTATIVI e VERIFICHE di DERIVAZIONI, senza precise REGOLE come invece avviene con le DERIVATE. Inattesi RISULTATI che mettono in crisi la presunta UNICITA' dell’INTEGRALE, escludendo le CUSPIDI e le altre discontinuità di PRIMA SPECIE dove la PRIMITIVA può risultare CONTINUA.
 
Questi inattesi RISULTATI mettono in CRISI la presunta ESISTENZA e UNICITA' dell’INTEGRALE, includendo le CUSPIDI e le altre DISCONTINUITA' di PRIMA SPECIE dove la PRIMITIVA può RISULTARE CONTINUA. come infatti ACCADE negli ESEMPI 3) dove il DIFFERENZIALE (31) presenta SINGOLARITA' (λ=±1) nelle CUSPIDI (x=y) e dove le DERIVATE ∂Z/∂x, ∂Z/∂y risultano DISCONTINUE.
 
In effetti la PRIMITIVA Z(x,y)∈C0(ℜ), definita ∀(x,y)∈ℜ, IGNORA quei PUNTI SINGOLARI (come se non esistessero) mettendo in discussione la CONTINUITA' delle FUNZIONI DERIVABILI e il concetto di INTEGRALE, risultati incompatibili col TEOREMA di TORRICELLI.
 
Infine, ci CHIEDIAMO, quale SIGNIFICATO possono avere le FUNZIONI COMPLESSE con DERIVATE REALI, tipo (29),(34),(36), le RETTE REALI che INVILUPPANO (avvolgono) una FUNZIONE COMPLESSA, le TANGENTI REALI di ipotetiche LINEE IMMAGGINARIE non DISEGNABILI nello SPAZIO EUCLIDEO, l’INVOLUCRO (il contenitore, il vestito) di un CORPO INESISTENTE (?).

 
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5) RIFLESSIONI SUL CONCETTO DI PRIMITIVA
 
Il CONCETTO di LIMITE è fondamentale per tutta l’ANALISI MATEMATICA. Si trata di un preciso CALCOLO SISTEMATICO che nel caso di una sola VARIABILE INDIPENDENTE (∀x∈A⊆ℜ) serve soprattutto a definire la DERIVATA f(x)∈C0(A) di una FUNZIONE CONTINUA F(x)∈C1(A) TRAMITE il seguente RAPPORTO INCREMENTALE ΔF(x)/Δx per Δx→0:
Viceversa, in mancanza dell’operazione inversa di INTEGRAZIONE f(x)→F(x), la PRIMITIVA INCOGNITA F(x) si può esprimere in TERMINI INFINITESIMI invertendo il LIMITE (37) con la seguente EQUAZIONE DIFFERENZIALE, che si risolve soltanto per TTENTATIVI (con ripetute VERIFICHE di DERIVAZIONE) e quindi SENZA alcuna CERTEZZA della sua effettiva EISTENZA, malgrado il TEOREMA di TORRICELLI-BARROW che invece ne conferma la SOLUZIONE:
 Da questo INFINITESIMO si può risalire all’INCREMENTO ΔF= F(b)-F(a) con la seguente SOMMATORIA Σfj(x)Δjx, chiamata INTEGRALE di RIEMANN, che divide l’intero INTERVALLO (a≤x≤b) in una SERIE di Sottoinsiemi (Δjx>0) ridotti ai rispettivi INFINITESIMI (Δjx→0) che dipendono dai VALORI di (Δjx>0)∈(a≤x≤b):
 Il TEOREMA di TORRICELLI-BARROW risolve formalmente il DIFFERENZIALE (38) sostituendo la SOMMATORIA Σfj(x)Δjx col SIMBOLO di INTEGRALE ∫f(x)dx, che resta INCOGNITO col seguente SIGNIFICATO: SOMMA di INFINITI TERMINI INFINITESIMI equivalente alla operazione INVERSA di DERIVATA, 
supponendo che (a,x)∈A la FUNZIONE f(x)∈C0(A) ammetta un’UNICA PRIMITIVA F(x)∈C1(A), REALE, COMPLESSA o INCOGNITA:
In effetti la VERITA' è DIFFERENTE, come DIMOSTRANO le Condizioni di SCHWARZ (7) e le SOLUZIONI ARBITRARIE ∀(x,y)∈E, di cui riportiamo l’INTEGRALE DOPPIO (9), supponendo di CONOSCERE V(x),W(y) e la PRIMITIVA INCOGNITA Z*(x,y)∈C2(E) che include l’IINTEGRALE di TORRICELLI (40) ∀(y=k),(dy=0):
 
Da queste EQUAZIONI possiamo ottenere due differenti PRMITIVE della stessa FUNZIONE INTEGRANDA V(x), la prima delle quali risulta addirittura ARBITRARIA a causa della VARIABILE y∈E, anche perchè (come abbiamo detto) l’ESTREMO SUPERIORE dell’INTEGRALE potrebbe SOSTITUIRSI con FUNZIONI ARBITRARIE del tipo x=μ(y), tenendo conto che (in alternativa) la PRIMA SOLUZIONE può presentare DISCONTINUITA' di PRIMA SPECIE nei PUNTI y=k∈E:
 
 Questo significa che UNA STESSA FUNZIONE INTEGRANDA può AMMETTERE una o più PRIMITIVE INCOGNITE, anche ARBITRARIE, mettendo in DISCUSIONE il TEOREMA di TORRICELLI e la CONTINUITA' di una FUNZIONE DERIVABILE.
 
Il fatto appare più EVIDENTE se il DIFFERENZIALE (38) assume la generica FORMA IMPLICITA φ(x,y,y’)=0, la cui SOLUZIONE dipende da una COSTANTE ARBITRARIA k∈ℜ e quindi COMPRENDE una FAMIGLIA di ∞1 CURVE INTEGRALI, DIFFERENTI l’una dall’altra, a causa della PRIMITIVA UNITARIA y=Z(x,k) IMPOSTA dalle cosiddette CONDIZIONI INIZIALI di CHAUHY-LAGRANGE.
 
In particolare, può ACCADERE che la stessa EQUAZIONE φ(x,y,y’)=0 AMMETTA assieme a y=Z(x,k) qualche INTEGRALE SINGOLARE del tipo y=g(x), oppure CHE la COSTANTE kÎÂ scompaia dalla DERIVATA y’=Z’(x,k)=f(x).
 
In questi casi, SUPPONENDO di conoscere le PRIMITIVA F(x),G(x) di f(x),g(x), si ottiene il seguente INTEGRALE del tipo (43), con DUE differenti PRIMITIVE (J’≠J”) della stessa FUNZIONE INTEGRANDA f(x):
 Il PROBLEMA si complica nelle EQUAZIONI di ORDINE n≥2, f(x,y',y'',.,y(n))=0, il cui INTEGRALE GENERALE y(x,k1,k2,..,kn) dipende da n COSTANTI ARBITRARIE. Ancor più nelle EQUAZIONI alle DERIVATE PARZIALI, che nel caso più semplice di n=2 VARIABILI Indipendenti, ∀(x,y)∈(A,B), si prestano allo STUDO della TERMODINAMICA dei FLUIDI (liquidi, gas, miscugli) e degli altri Fenomeni BIVARIABILI, quando l’INTEGRALE diventa un SISTEMA di STATO del tipo (8), con 2 FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y) di cui ci occuperemo in seguito.

 
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6)   IL SISTEMA DI STATO DEI FLUIDI
 
Un CORPO materiale si manifesta tramite le sue PROPRIETA' SENSORIALI, un insieme di GRANDEZZE FISICHE quantitative (misurabili) ottenute per via SPERIMENTALE, che potrebbero essere infinite coi rispettivi STRUMENTI di MISURA. Sempre per via sperimentale il problema è risolto dal SISTEMA INTERNAZIONALE delle UNITA' (SI), comprendente gli STRUMENTI di MISURA delle 7 GRANDEZZE FONDAMENTALI (m, kg, s, A, K, cd, mol), scelte fra le più SEMPLICI e indipendenti, le quali definiscono tutte le altre chiamate GRANDEZZE DERIVATE.
 
Generalmente lo STATO FISICO di un CORPO richiede la conoscenza di n³2 GRANDEZZE, opportunamente scelte fra FONDAMENTALI e DERIVATE, che lo distinguono dagli altri CORPI. Questo significa che l’INSIEME di N³n GRANDEZZE definiscono un SISTEMA (å) formato da (N-n) EQUAZIONI fra quelle (N) VARIABILI, di cui N-(N-n)=n (comunque scelte) risultano necessariamente INDIPENDENTI mentre le altre diventano FUNZIONI di STATO.

L’esempio più semplice è l’EQUAZIONE di STATO dei GAS PERFETTI pv=RT, dove N=3 GRANDEZZE formano N-n=1 EQUAZIONI con n=2 VARIABILI indipendenti. Inoltre, le stesse (n) VARIABILI formano anche le COORDINATE dello SPAZIO n-dimensionale (Ω), dove si rappresenta il FLUIDO (å) e il SISTEMA PARAMETRICO (s) delle possibili TRASFORMAZIONI.
 
In particolare (Gibbs) lo STATO FISICO dei FLUIDI (Liquidi, Gas, Miscugli) AMMETTE soltanto n=2 VARIABILI INDIPENDENTI, definite in un CAMPO SEMPLICEMENTE CONNESSO (CSC) E⊆ℜ2.
 
Quindi, assegnando N=4 GRANDEZZE FISICHE (x,y,X,Y), ad esempio (p,V,T,S)=(Pressione, Volume, Temperatura, Entropia), risulta definito il seguente SISTEMA di STATO (Σ) formato da N-n=2 EQUAZIONI, dove quell’unica COPPIA INDIPENDENTE può essere scelta in uno dei 6 MODI possibili (x,y),(x,X),(x,Y),(y,X),(y,Y),(X,Y), mentre le altre 2 GRANDEZZE FISICHE diventano FUNZINI di STATO, ad esempio del tipo X=X(x,y),Y=Y(x,y), DEFINITE ∀(x,y)∈E⊆ℜ2:
 

 
Inlinea di principio, basta dunque ASSEGNARE una generica COPPIA INDIPENDENTE (x,y)∈E, in un CAMPO Semplicemente CONNESSO (CSC)=E∈ℜ2, per definire il SISTEMA di STATO (Σ) e quindi anche i due COEFFICIENTI X(x,y),Y(x,y) del seguente DIFFERENZIALE, al quale (come abbiamo detto e di cui parleremo fra poco) occorre AGGIUNGERE altri VINCOLI per assicurare l’effettiva ESISTENZA della sua PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)∈C2(E):
 
 
Peraltro, la PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)∈C2(E) si può calcolare nei DUE MODI seguenti:
a) INTEGRANDO direttamente il DIFFERENZIALE dZ(x,y) dal punto INIZIALE P0(x0,y0) al punto GENERICO P(x,y), 
b) tramite un l’INTEGRALE CURVILINEO lungo l'ARCO (t0,t)∈γ di qualsiasi CURVA γ∈E, come avviene per ogni INFINITESIMO:
 
 
 
Tuttavia queste soluzioni potrebbero NON ESISTERE o essere PLURIMERE (a più valori).
Infatti, assieme al (CSC), l’effettiva Esistenza della PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)∈C2(E) ∀E∈ℜ2 RICHIEDE che siano SODDISFATTE anche le CONDIZIONI di SCHWARZ (7), dove risulta λ(x,y)≠0 e quindi VALGONO le seguenti EQUAZIONIi DIFFERENZIALI:
 
 
Si tratta di uno dei più semplici SISTEMI DIFFERENZIALI del 2O ORDINE alle DERIVATE PARZIALI, che in questo caso equivale al DIFFERENZIALE (46) e al SISTEMA di STATO (47) in quanto ESPRIME la stessa PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)∈C2(E) di quel FLUIDO, anch’essa DEFINITA ∀(x,y)∈E.
 
Viceversa, il DIFFERENZIALE (46) e il SISTEMA di STATO (47) si possono OTTENERE ASSEGNANDO la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)∈C0(E), cioè un determinato VALORE alla DERIVATA SECONDA MISTA ∂2Z/∂x∂y=∂2Z/∂y∂x del SISTEMA DIFFERENZIALE (50), ottenendo le seguenti CONDIZIONI di INTEGRABILITA' GENERALIZZATA:
 
Assegnare la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)∈C0(E) significa dunque assegnare il SISTEMA di STATO (45) (X,Y)∈C1(E) e quindi anche un determinato FLUIDO di RIFERIMENTO. A differenza delle EQUAZIONI (50) che ASSICURANO soltanto l’ESISTENZA di una PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y), il nuovo SISTEMA (51) definisce anche il DIFFERENZIALE (46), cioè i 2 COEFFICIENTI (47) del SISTEMA di STATO X(x,y),Y(x,y) e l’INTEGRALE DOPPIO della PRIMITIVA Z(x,y)∈C2(E), legati alla FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)∈C0(E) ma soprattutto alle due FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y), da UTILIZZARE nei modi più OPPORTUNI:
 
 
A questo punto conviene tener conto dei seguenti SISTEMI DIFFERENZIALI EQUIVALENTI, il primo ottenuto differenziando il SISTEMA di STATO (52) e l’altro sostituendo alcuni dei suoi TERMINI. In tal modo i rispettivi COEFFICIENTI consentono il CALCOLO delle DERIVATE PARZIALI fra le 4 VARIABILI (x,y,X,Y):
 

Come abbiamo detto, queste EQUAZIONI semplificano il calcolo delle DERIVATE PARZIALI fra le 4 VARIABILI (x,y,X,Y), definite dai DIFFERENZIALI dx,dy,dX,dY.
In particolare, le 4 COPPIE (x,y),(x,Y),(y,X),(X,Y) danno 8 DERIVATE, associate nelle 4 condizioni di INTEGRABILITA' equivalenti, a cominciare dalla (50).

Quanto prima, queste EQUAZIONI rappresentano 4 SISTEMI di STATO equivalenti e le rispettive PRIMITIVE INCOGNITE, che nel caso dei FLUIDI formano i ben noti 4 POTENZIALI TERMODINAMICI della CHIMICA-FISICA, di cui ci occuperemo in seguito:

 
 
Tutto quanto PRECEDE si SEMPLIFICA notevolmente ASSEGNANDO alla FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y) il valore COSTANTE λ=k∈ℜ.
In questo caso il SISTEMA di STATO (52) assume la seguente FORMA RIDOTTA:
 
 

 
OSSERVAZIONE
 
Ora POTREBBE NASCERE qualche DUBBIO sulla strana CORRISPONDENZA fra l’INFINITESIMO (46) e il SISTEMA DIFFERENZIALE (51), che produce i SISTEMI di STATO (52),(56) in Termini Finiti.
 
Peraltro (ci limitiamo a ricordarlo) i precedenti RISULTATI li abbiamo ottenuti IGNORANDO (come se non esistesse) la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)≠0, introdotta soltanto nelle CONDIZIONI di CHIUSURA (51).
 
Infatti le 3 FUNZIONI arbitrarie λ(x,y),V(x),W(y) RICOMPAIONO, assieme ai SISTEMI di STATO (52),(56), INTEGRANDO manualmente (per tentativi e ripetute verifiche di derivazione) il DIFFERENZIALE (46), tramite un laborioso procedimento che per brevità omettiamo.
 
Quei SISTEMI di STATO (52),(56) assumono notevole importanza nella TERMODINAMICA dei FLUIDI ma soprattutto in questa RICERCA, il cui COMPITO è quello di determinare l’effettivo significato MATEMATICO delle tre FUNZIONI ARBITRARIE λ(x,y),V(x),W(y), in particolare la CAPACITA' di interpretare le GRANDEZZE FISICHE ATTRIBUITE ai CORPI materiali. Alla FINE (come vedremo) ESSE DIVENTERANNO una autentica “LEGGE ASSOLUTA DELLA NATURA”.
 
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8IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
 
 Nelle Coordinate dei GAS IDEALI conviene includere le tre Grandezze Fisiche: PRASSIONE (p>0),(N/m2), VOLUME SPECIFICO (v>0),(m3/kg) e TEMPERATURA (T>>Tc),(oK), che definiscono l’EQUAZIONE di STATO pv=RT ma anche i due CALORI SPECIFICI (cp,cv),(J/kgoK), tenendo conto delle due COSTANTI FISICHE R(J/kgoK) e k(ad), come risulta dalle seguenti EQUAZIONI EQUIVALENTI ottenute per via Sperimentale da MAYER, GAY-LUSSAC, JOULE:
A causa delle 2 COSTANTI (R,k), anche i due CALORI SPECIFICI (cp,cv) risultano praticamente COSTANTI. E’ questa la Proprietà più importante dei GAS IDEALI, soprattutto perchè le EQUAZIONI (57) si possono ESTENDERE con sufficiente approssimazione ai GAS REALI, addirittura a tutti i FLUIDI TERMODINAMICI (Liquidi, Gas, Miscugli) impiegati nelle MACCHINE TERMICHE a COMBUSTIONE INTERNA, negli INTERVALLI non molto grandi delle VARIABILI.
 
Peraltro, acquista notevole importanza lo scambio ENERGETICO con l’ESTERNO, cioè il CALORE assorbito Q(J/kg) e il LAVORO ceduto L(J/kg), entrambi             INCOGNITI che dipendono dalle TRASFORMAZIONI e quindi ASSUMONO le seguenti FORME INFINITESIME (dQ,dL), scegliendo la COPPIA  (P,V)>0:              
Tenendo conto delle EQUAZIONI (57) e delle 2 COSTANTI (R,k), si ricavano 3 ESPRESSIONI equivalenti dello SCAMBIO TERMICO (dQ), definite ∀(p,v)>0:
 

Dividendo membro a membro per la TEMPERATURA (T) e tenendo conto dell’EQUAZIONE di STATO pv=RT, si ottiene il DIFFERENZIALE dell’ENTROPIA dS=δQ/T in 3 FORME equivalenti, con l’immediata INTEGRAZIONE in Termini Finiti ΔS=(S-S0), anch’ESSE definite dalle 3 COPPIE Indipendenti (p,v),(T,v),(T,p):
 
 
L’ENTROPIA dS=δQ/T costituisce dunque una comune FUNZIONE di STATO, come l’ENERGIA INTERNA e l'ENTALPIA, definita anche dal TEOREMA di CARNOT-CLAUDIUS tuttavia ignorando l’omonimo POSTULATO (come se non esistesse), fondato essenzialmente sulla presunta IRREVERSIBILITA' dei FENOMENI REALI.

Di conseguenza quella FUNZIONE di STATO (dS=δQ/T) non può rappresentare l’ESPRESSIONE MATAMATICA del SECONDO PRINCIPIO, la sua TRADUZIONE ANALITICA, la CERTEZZA della sua effettiva VALIDITA', nemmeno nelle condizioni di INVERTIBILITA' (dS=δQ/T)Û(δQ=TdS) quando anche lo SCAMBIO TERMICO diventa un DIFFERENZIALE (δQ=dQ=TdS), come infatti ACCADE nelle TRASFORMAZIONI ISOCORE (dv=0) e/o ISOBARICHE (dp=0) dei CICLI HIRN-ENTALPICI, dove il CALORE (δQ) equivale alla ENERGIA INTERNA (dQ)v=(dU)v e/o alla ENTALPIA (dQ)p=(dH)p, tenuto conto che il CICLO di CARNOT (Invertibile) non può confondersi col MOTORE TERMICO che lo GESTISCE.

 
Analogamente, ripartendo dagli SCAMBI TERMICI (δQ) delle (59), la DIFFERENZA (δQ-pdv) ricavata dalla SECONDA Equazione e la SOMMA (δQ+vdp) ottenuta dalla TERZA, formano i seguenti DIFFERENZIALI della ENERGIA INTERNA (dU) e della ENTALPIA (dH), anch’ESSI con immediata INTEGRAZIONE (ΔU),(ΔH), due importanti FUNZIONI di STATO definite dalla COPPIA INDIPENDENTE (p,v) oppure SOLTANTO dalla TEMPERATURA (T):
 
 
L’ENERGIA INTERNA dU=δQ-δLu e l’ENTALPIA dH=δQ+δLe definite dalle (61) rappresentano due modi per esprimere lo SCAMBIO ENERGETICO (δQ,δL), Termico δQ e Meccanico δL, che aziona ogni MOTORE TERMICO, chiamando LAVORO INTERNO dLu=pdv e LAVORO ENTALPICO dLe=vdp i 2 INFINITESIMI (pdv,vdp).

Si tratta di due differenti espressioni del PRIMO PRINCIPIO della TERMODINAMICA, particolarmente utili nelle TRASFORMAZIONI dei CICLI TERMICI (Hirn, Entalpici, Entropici, Joule, Otto, Diesel, ecc.), i quali rappresentano due dei 4 POTENZIALI TERMODINAMICI impiegati specialmente nella CHIMICA-FISICA, che sono: l’ENERGIA INTERNA dU=TdS-pdv, l’ENTALPIA dH=TdS+vdp, l’ENERGIA LIBERA di HELMHOLTZ dF=d(TS-U), infine l’ENERGIA LIBERA di GIBBS dG=d(TS-H), generalmente espressi dai corrispondenti DIFFERENZIALI (dU,dH,dF,dG) in funzione delle 4 COPPIE indipendenti (S,v),(S,p),(T,v),(T,p) del gruppo (p,v,T,S), facilmente ricavabili dal SISTEMA (61) sostituendo ALCUNI termini dei secondi membri:
 
In effetti queste 4 ESPRESSIONI del PRIMO PRINCIPIO potrebbero diventare SEI, includendo i due DIFFERENZIALI dM(T,S),dN(v,p) in funzione delle restanti COPPIE Indipendenti (T,S),(v,p), anch’essi definiti nei Piani Entropico Ω(T,S) e Meccanico O(p,v).
 
Tuttavia i 4 DIFFERENZIALI (63) sono sufficienti a risolvere i più importanti PROBLEMI Termodinamici, tenendo conto che le rispettive PPRIMITIVE INCOGNITE (U,H,F,G) si RISOLVONO per tentativi con INTEGRALI DOPPI del tipo (53) come ogni altro Infinitesimo, con la CERTEZZA della loro ESISTENZA, se le Condizioni di INTEGRABILITA' (51) si estendono ∀(x,y)∈E a tutte le EQUAZIONI (63).
 
Il problema si semplifica applicando alle (51) le SOSTITUZIONI (x,y,X,Y)⇒(S,v,T,p) col PROCEDIMENTO (51),(54),(55) relativo ad uno qualsiasi dei 4 POTENZIALI (63), scegliendo ad esempio l’ENERGIA INTERNA U(S,v). 
 
In questo caso la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y) e le FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y) CONSERVANO le stesse VARIABILI (S,v) di U(S,v), PROSEGUENDO anche in H(S,p),F(T,v),G(T,p), dove RISULTA necessariamente l(S,v),V(S),W(v).
 
Quanto prima, questa SCELTA consente di DEFINIRE nel modo più semplice le 8 DERIVATE PARZIALI di SCHWARZ (55), che estendono le CONDIZIONI di INTEGRABILITA' (51) alle 4 PRIMITIVE INCOGNITE (U,H,F,G) nel modo seguente:
 

Anche in questo caso è facile ottenere i SISTEMI di STATO (52) in FORMA RIDOTTA (56) ponendo  λ=k∈ℜ. Quelle ESPRESSIONI si rendono NECESSARIE quando occorrono almeno due dei 4 POTENZIALI (66), scegliendo ad esempio l’ENERGIA INTERNA (dU=TdS-pdv) e l’ENTALPIA (dH=TdS+vdp).

Se invece serve soltanto una sola GRANDEZZA del tipo Z(x,y), definita ∀(x,y)∈E⊆(CSC), conviene partire dall’EQUAZIONE DIFFERENZIALE di SCHWARZ (51), che si risolve con l’INTEGRALE DOPPIO (53) tenendo conto del SISTEMA di STATO (52), anche nella FORMA RIDOTTA (56).

Questo procedimento (che applicheremo in seguito) ignora i PPRINCIPI della TERMODINAMICA (come se non esistessero) e consente di giungere (come più volte abbiamo detto) a quella VERITA' che rappresenta una autentica LEGGE ASSOLUTA DELLA NATURA.

 
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9UNA LEGGE ASSOLUTA DELLA NATURA
 
Ogni GRANDEZZA FISICA Z(x,y)∈C2(E), definita ∀(x,y)∈E⊆(CSC), rappresenta una FUNZIONE di STATO spesso INCOGNITA che si esprime tramite il DIFFERENZIALE dZ(x,y), sapendo che le CONDIZIONI di CHIUSURA ∂2Z/∂y∂x=∂X/∂y=∂Y/∂x assicurano la SOLUZIONE Z(x,y), in Termini Finiti, INTEGRANDO ma senza tener conto della FUNZIONE di SCHWARZ ∂2Z/∂y∂x=l(x,y)∈C0(E), definita da quelle EQUAZIONI:
Infatti, generalmente si assegnano i due COEFFICIENTI X(x,y),Y(x,y)∈C1(E) IGNORANDO la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y). Perciò il suo DIFFERENZIALE dZ(x,y) si RISOLVE per tentativi con INTEGRALI CURVILINEI Z(t) del tipo seguente, DEFINITI ∀(x,y)∈E e quindi COMPATIBILI col TEOREMA di TORRICELLI:
 
 
In alternativa conviene invece risolvere quei DIFFERENZIALI ∂2Z/∂x
∂y=∂X/∂y=∂Y/∂x=λ(x,y) dopo avere assegnato in modo ARBITRARIO la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)∈C0(E), per ottenere il SISTEMA di STATO (52), che chiameremo (∑), e l’INTEGRALE DOPPIO (53) della nuova PRIMITIVA INCOGNITA Z(x,y)∈C2(E), dove assieme a λ(x,y) compaiono altre 2 FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y), generalmente INCOMPATIBILI col TEOREMA di TORRICELLI. Con la Funzione di SCHWARZ λ(x,y)∈C0(E) si ottengono i RISULTATIi:
Geometricamente gli INTEGRALI Z(t),Z(x,y) formano tutte le CURVE del PIANO P(t,Z) e le SUPERFICI dello SPAZIO-Tridimensionale O(x,y,Z), mentre il SISTEMA di STATO (å) rappresenta una generica SUPERFICIE dello SPAZIO-Quadridimensionale W(x,y,X,Y), di EQUAZIONI PARAMETRICHE X=X(x,y),Y=Y(x,y).
 
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Conviene dunque partire da quel SISTEMA di STATO (∑), sperando di poter determinare in qualche modo le 2 FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y) che viceversa dovrebbero rendere concrete almeno alcune APPLICAZIONI di (∑). Il Problema è risolvibile soltanto con l’ipotesi di creare le CONDIZIONI SPERIMENTALI di V(x),W(y). A tale scopo, vediamo cosa accade esprimendo il SISTEMA (∑) in Forma DIFFERENZIALE (d∑), per poi riportarlo in TERMINI FINITI (å¢) dividendo la PRIMA EQUAZIONE per dx≠0 e la SECONDA per dy≠0, come segue:

 
 
Nel nuovo SISTEMA di STATO (∑'),(72) la PRIMA EQUAZIONE DIPENDE soltanto da (x) e la SECONDA soltanto da (y).
Infatti, la DERIVATA TOTALE dy/dx e la SUA INVERSA 1/(dx/dy) ammettono una PRIMITIVA ARBITRARIA f(x,y)=0 che lega le 2 VARIABILI (x,y)∈E di X(x,y),Y(x,y),λ(x,y), mentre ASSIEME alle altre due PRIMITIVE ARBITRARIE, quella φ(x,X)=0 di dX/dx e quella ψ(y,Y)=0 di dY/dy, FORMANO la generica CURVA (σ) dello SPAZIO Ω(x,y,X,Y).
 
Insomma, (∑') comprende 2 EQUAZIONI nelle 3 VARIABILI di cui (3-2)=1 risulta INDIPENDENTE, quindi rappresenta la CURVA (σ) dello SPAZIO quadridimensionale Ω(x,y,X,Y), definita dalla seguente EQUIVALENZA (∑')⇒(σ):
 
 In sostanza, partendo dal SISTEMA di STATO (Σ), definito ∀(x,y)∈E⊆ℜ2 dello Spazio Ω(x,y,X,Y), abbiamo ottenuto la EQUIVALENZA (∑')⇒(σ) che DETERMINA la generica CURVA (σ)∈(Ω) passante per il PUNTO INIZIALE P0(x0,y0,X0,Y0).
 
Viceversa (quanto prima) ci CHIEDIAMO se è possibile CREARE (in qualche modo) una particolare TRASFORMAZIONE SPERIMENTALE (σ0)=x0(t),y0(t),X0(t),Y0(t) di un determinato FLUIDO (es. H2O), per DEFINIRE le due FUNZIONIi ARBITRARIE V0(x),W0(y) e quindi anche il SISTEMA di STATO (∑0) di quel FLUIDO, dopo aver MISURATO le 4 DERIVATE TOTALI (β0)=(dx/dy)0,(dy/dx)0,(dX/dx)0,(dY/dy)0, INDICIZZATE con un cERCHIETTO (0) per RICORDARNE la PROVENIENZA.
 
Questo importante PROBLEMA dello SPAZIO Ω(x,yX,Y) si RISOLVE INVERTENDO (⇐) la PRECEDENTE (∑')⇒(σ) per ottenere la NUOVA CORRISPONDENZA (σ0)⇒(β0)⇒(∑0) relativa ai FLUIDI col seguente PROCEDIMENTO MATEMATICO SPERIMENTALE.
 
Si tratta di una autentica LEGGE ASSOLUTA DELLA NATURA, di cui (fra poco) faremo un breve commento:

 

UN BREVE RIEPILOGO
 
PRIMA FASE (74)⇒(σ0). 
Si ORGANIZZA una particolare TRASFORMAZIONE (σ0)=x0(t),y0(t),X0(t),Y0(t) di un determinato FLUIDO (es.H2O), passante per un PUNTO INIZIALE P0(x0,y0,X0,Y0) dello SPAZIO Ω(x,y,X,Y), predisposta ad esempio in un adeguato LABORATORIO COMPUTORIZZATO, quindi CALCOLIAMO (o Misuriamo) le 4 DERIVATE (dx/dy)0, (dy/dx)0, (dX/dx)0, (dY/dy)0 sulla CURVA (∑0).
 
SECONDA FASE (75)0).
In un CAMPO (x,y)∈E⊆CSC dello SPAZIO Ω(x,y,X,Y), si ASSEGNA la FUNZIONE di SCHWAR λ(x,y)∈C0(E) del SISTEMA di STATO (∑0), che serve per INTEGRARE le FUNZIONI ARBITRARIE V0(x), W0(y), in FUNZIONE delle 4 DEIVATE (dx/dy)0,(dy/dx)0, (dX/dx)0, (dY/dy)0 ottenute LUNGO la CURVA (σ0).
 
TERZA FASE (76)(∑0).
Le precedenti FUNZIONI ARBITRARIE V0(x),W0(y) definiscono il SISTEMA di STATO (∑0) e tutte le APPLICAZIONI, quindi COMPLETANO la CORRISPONDENZA (σ0)⇒(β0)⇒(∑0), tenendo conto del PUNTO INIZIALE P0(x0,y0,X0,Y0)∈Ω(x,y,X,Y) che (ripetiamolo) può ASSEGNARSI in modo ARBITRARIO.
 
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Generalmente la TRASFORMAZIONE PRESCELTA (σ0)∈Ω(x,y,X,Y) non è ARBITRARIA ma viene PROGRAMMATA facendo variare opportunamente le 4 GRANDEZZE FISICHE (x,y,X,Y) di un DETERMINATO FLUIDO.
 
In questi casi CONVIENE assumere una TRASFORMAZIONE (σ0)∈Ω(x,y,X,Y) DEFINITA da una GENERICA RETTA (x=at),(y=bt),(X=ct),(Y=dt) SAPENDO  che i suoi COEFFICIENTI ANGOLARI (a,b,c,d) sono FACILMENTE MISURABILI.
 
In particolare, PONENDO inoltre λ(x,y)=k≠0 si OTTIENE infine la seguente CORRISPONDENZA RIDOTTA (σ0)⇒(β0)⇒(∑0), ASSEGNANDO quanto prima le nuove CONDIZIONI INIZIALI P0(x0,y0,X0,Y0):
 
Questa particolare CORRISPONDENZA (σ0)⇒(β0)⇒(∑0) diventa una IDENTITA' (σ0)⇔(β0)⇔(∑0) se si INVERTONO le due TRASFORMAZIONI ESTREME, Verificando che VICEVERSA il SISTEMA di STATO (∑0) si svolge esattamente sulla (σ0).
 
Tutto ciò ACCADE effettivamente come risulta SOSTITUENDO a (∑0) gli stessi INCREMENTI (Δx,Δy,ΔX,ΔY) di (σ0).
E’ questo uno dei CASI in cui si ottiene la VERIFICA MATEMATICA di  (σ0)⇒(β0)⇒(∑0) e della sua INVERSA (σ0)⇐(β0)⇐(∑0).
 
 
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CONCLUSIONE

Il RENDIMETO di ogni MACCHINA TERMICA può essere Ottimizzato MODIFUCANDO opportunamente la CATENA CINEMATICA, cioè il MECCANISMO che collega la CAMERA di COMBUSTIONE all’ALBERO, specialmente nei MOTOI ALTERNATIVI, azionati dal Meccanismo BIELLA-MANOVELLA.
 
Questo vale anche per la MACCHINA PERFETTA di CARNOT e quindi l’ENTROPIA dS=δQ/T definita dai Teoremi di CARNOT-CLAUSIUS non può rappresentare l’UNICA ESPRESSIONE MATEMATICA del SECONDO PRINCIPIO della TERMODINAMICA, tantopiù che si tratta di una FUNZIONE di STATO che abbiamo già RISOLTA (Link 02), (k-1)ΔS=RΔln(pVk)=RΔln(Fsk), nei Piani Meccanici O(p,V),O(F,s), IGNORANDO quel POSTULATO, ma SENZA NEGARE la sua presunta VALIDITA' SPERIMENTALE.

Lo STATO FISICO dei FLUIDI risulta definito (Gibbs) da 2 VARIABILI (x,y)∈E in un Campo Connesso E⊂C⊆ℜ2, come pure le rispettive GRANDEZZE FISICHE Z(x,y), generalmente INCOGNITE e quindi espresse tramite EQUAZIONI INFINITESIME, δZ(x,y)=X(x,y)dx+Y(x,y)dy, che si RISOLVONO in Termini Finiti con INTEGRALI CURVILINEI, conformemente al TEOREMA di TORRICELLI-BARROW, dopo avere ASSEGNATO i suoi due COEFFICIENTI (X,Y)∈C1(E).
 
Peraltro, se la CONDIZIONE ∂2Z/∂x∂y=∂X/∂y=∂Y/∂x è definita in un Campo Semplicemente Connesso (CSC), ∀(x,y)∈(CSC)⊆ℜ2, l’Infinitesimo dZ diventa il Differenziale dZ di Funzioni di Stato Z(x,y), come l’Entropia dS=δQ/T e i 4 Potenziali Termodinamici dU(S,v),dH(S,p),dF(T,v),dG(T,p) equivalenti al Primo Principio.
 
Tutto questo è ben Noto. La NOVITA' consiste nel fatto che (ripetiamolo) abbiamo RISOLTO (in Termini Finiti) l’ENERGIA INTERNA (dU=δQ-δL) e l’ENTROPIA di CLAUSIUS (dS=δQ/T) IGNORANDO i PRINCIPI della TERMODINAMICA.
Ma anche perché finora è stata ignorata la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)∈C0(CSC) necessariamente definita dal SISTEMA DIFFERENZIALE ∂2Z/∂x∂y=∂X/∂y=∂Y/∂x=λ(x,y), la cui SOLUZIONE Z(x,y) dipende da FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y), INCOMPATIBILI col TEOREMA di TORRICELLI, mettendo in discussione la CONTINUITA' di una FUNZIONE DERIVABILE e soprattutto il CONCETTO di INTEGRALE, come CONFERMANO i precedenti ESEMPI.
 
Questa RICERCA si fonda sull’ANALISI del SISTEMA DIFFERENZIALE ∂2Z/∂x∂y=∂X/∂y=∂Y/∂x=λ(x,y), che ∀(x,y)∈(CSC) TIENE conto della FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y)∈C0(CSC) da ASSEGNARE in modo ARBITRARIO, la cui SOLUZIINE Z(x,y) dipende anche dalle altre due FUNZIONI ARBITRARIE V(x),W(y).
 
Il PROBLEMA è quello di DEFINIE V(x),W(y) in FUNZIONE della generica CURVA (σ) dello SPAZIO QUADRIDIMENSIONALE Ω(x,y,X,Y), RISOLTO con l’EQUIVQLENZA (∑')⇔(σ) dopo avere LINEARIZZATO (72),(∑') il SISTEMA di STATO (69) (∑).
 
Si CONCLUDE con l’EQUIVALENZA Sperimentale (74),(75),(76), (σ0)⇒(β0)⇒(∑0), dove la generica TRASFORMAZIONE LINEARE (σ0) determina le due FUNZIONI (β0),V0(x),W0(y), che DEFINISCONO il SISTEMA di STATO (∑0) e che infine RISOLVONO (per via Sperimentale) la FUNZIONE INCOGNITA Z(x,y).
 
Nel complesso, qualsiasi TRASFORMAZIONE (σ0) di un determinato FLUIDO (es. H2O) è in grado di DEFINIRE (per via Sperimentale) lo STATO FISICO di quel FLUIDO, cioè tutte le sue FUNZIONI di STATO Z(x,y), che si DISTINGUONO (l’una dall’altra) variando opportunamente le CONDIZIONI INIZIALI, cioè la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y) e il PUNTO INIZIALE P0(x0,y0,X0,Y0) di (a0). Si tratta dunque dell’Espressione Sperimentale di una LEGGE ASSOLUTA DELLA NATURA.
 
Le CURVE STATISTICHE di GAUS, POISSON, PLANK, ed altri METODI SPERIMENTALI, DIMOSTRANO che gli inevitabili ERRORI di MISURA (m) consentono di CALCOLARE soltanto il VALORE PROBABILE (Zm) di una GRANDEZZA FISICA (Massa, Pressione, Volume, ecc.), mentre il VALORE VERO Z(t) varia con LEGGE TEMPORALE INCOGNITA in un INTERVALLO  INDETERMINATO (Zm-m)m+m), più o meno Esteso e MAI NULLO, il quale CRESCE fino a diventare INACCETTABILE man mano che le sue DIMENSIONI tendono verso i due LIMITI ESTREMI del MONDO ATOMICO e SIDERALE, come confermano:
 
l’INDETERMINISMO di HEISENBERG e la MECCANICA QUANTISTICA.
 
Si TRATTA dunque di una REALTA' SENSORIALE che
RISULTA VERA IN QUANTO VARIABILE e non VERA IN QUANTO ESISTENTE,
VALIDA SOLTANTO NELL'ATTTIMO FUGGENTE E NEL POSTO IN CUI SI OPERA,
cioè QUI E ADESSO E NON SEMPRE E OVUNQUE.
 
Di notevole INTERESSE sono anche le conseguenze Matematiche del SISTEMA DIFFERENZIALE (67), eventualmente ESTESO agli ORDINI SUPERIORI n>2. Nel CASO ATTUALE ci limitiamo a ricordare la RELAZIONE di APPARTENENZA (σ)∈(∑)∈Ω(x,y,X,Y) e il SIGNIFICATO dei suoi TERMINI. In effetti il SISTEMA di STATO (å) comprende 2 EQUAZIOI nelle 4 VARIABILI (x,y,X,Y) di cui (4-2)=2, comunque SCELTE nei 6 MODI possibili, RISULTANO INDIPENDENTI.
 
Quindi, a causa delle 2 FUNZIONI ARBITRARIE (V,W) rappresenta una generica SUPERFICIE (∑) dello SPAZIO Ω(x,y,X,Y), che diventa SUPERFOCIE RIGATA essendo (σ)∈(∑)∈Ω(x,y,X,Y).
 
Precisamente, ogni SUPERFICIE (∑) è ATTRAVERSATA dalle sue INFINITE LINEE (σ), mentre viceversa per ogni LINEA (σ0) passa una SOLA SUPERFICIE (0).
 E’ come dire che ogni ALBERO contiene MOLTE FOGLIE, mentre UNA FOGLIA appartiene a un DETERMINATO ALBERO.
 
Un moderno PERSONAL-COMPUTER, dotato di adeguate Apparecchiature Elettroniche, può essere PROGRAMMATO in modo tale da GESTIRE le CORRISPONDENZE SENSORIALI SPONTANEE o GUIDATE, in particolare quella RIDOTTA  (σ0)⇒(β0)⇒(∑0), traducendo in termini MATEMATICI tutte le possibili ATTIVITA' CHE COLLEGANO LA MENTE UMANA AL MONDO CIRCOSTANTE.
 
In tal modo i CONCETIi di MASSA, VOLUME, TEMPERATURA, ENERGIA, ENTROPIA, ENTALPIA, ecc., diventano VERITA' OGGETTIVE ADIMENSIONALI (numeri puri), ciascuna avente un SIGNIFICATO INDIPENDENTE dalle UNITA' di MISURA.
 
Peraltro tutti quei CONCETTI possono essere MODIFICATI e PERSONALIZZATI come si vuole CORREGGENDO le CONDIZIONI INIZIALI,li cioè la FUNZIONE di SCHWARZ λ(x,y) e il PUNTO P0(x0,y0,X0,Y0)∈(σ0).
 

 
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LA CICLOIDE ELLITTICA (fuori Testo)
 
Nel PIANO CARTESIANO ORTOGONALE O(x,y), consideriamo 2 ELLISSI UGUALI (E,F) situate in posizione CANONICA (vedi figura), di SEMIDIAMETRI (a³b>0) e CENTRI (O,Ω) sull’ASSE (O,x), posti alla DISTANZA |OΩ|=a+b, dove si trova anche il PUNTO di TANGENZA (T) legato al segmento (O,Ω) dall’EQUAZIONE
 
|OT|+|TΩ|=|OΩ|=a+b

Ci domandiamo se questa EQUAZIONE vale anche DURANTE il ROTOLAMENTO di (F) sulla (E) o viceversa, sapendo che certamente viene soddisfatta nelle 4 POSIZIONI CANONICHE di (E,F) quando il RAGGIO POLARE (O,w) forma le corrispondenti COORDINATE ANGOLARI: (0-p/2-2p/2-3p/2) rispetto all’ASSE (O,x).

Per fare una VERIFICA consideriamo le 2 CIRCONFERENZE di CENTRO (O) e Raggi (a,b), che intersecano la SEMIRETTA (O,w) nei PUNTI (M,N), dai quali (è noto) si ottiene il generico PUNTO (PÎE), che determina la costruzione (per Punti) dell’ELLISSE (E).

Peraltro (ci limitiamo ad affermarlo) la NORMALE (P,n) a (E), nel PUNTO PÎ(E), interseca la SEMIRETTA (O,w) nel PUNTO (Ω), che rappresenta il CENTRO (Ω) della nuova ELLISSE (F'), situato alla stessa distanza |OΩ| da (O).

Durante il rotolamento di (F),(E) i 2 semiassi |OT|Î(E),|TΩ|Î(F') coniugati con la TANGENTE (T,t), (a1,a2)Î(E) e (b1,b2)Î(F'), soddisfano alle EQUAZIONI:
Dato l’arbitrario orientamento della SEMIRETTA (O,w), possiamo quindi dire che la CIRCONFERENZA di CENTRO (O) e RAGGIO |OΩ|=a+b rappresenta la “CICLOIDE-ELLITTICA”, cioè il LUOGO dei PUNTI DESCRITTI da (Ω) durante il ROTOLAMENTO di (F) intorno a (E), o viceversa.

Di conseguenza, le due ELLISSI UGUALI (E,F), di SEMIASSI a
b>0 e CENTRI (O,Ω), supposti FISSI alla DISTANZA |OΩ|=a+b, possono ROTOLARE l’UNA sull’ALTRA (nei due versi opposti) SENZA STRISCIARE, mantenendo il mutuo CONTATTO TANGENZIALE (T) che diventa il CENTRO ISTANTANEO di ROTAZIONE, in MOTO RETTILINEO ALTERNATO nell’INTERVALLO b£|OT|£a, lungo il segmento (O,Ω), con la TANGENTE (T,t) variamente INCLINATA rispetto a (O,Ω).

Questo TEOREMA consente importanti APPLICAZIONI INDUSTRIALI, malgrado l’inevitabile VIBRAZIONE che però può essere notevolmente RIDOTTA tramite 2 o più COPPIE ELLITTICHE (E,F), VINCOLATE e ugualmente SFASATE sullo stesso ALBERO di ASSE (O).


 
 
 


 
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MURONE TERMODINAMICA


 

GESTIONE